中考教研分享——图形变化构全等
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阅读： 2022/5/10 10:57:18
图形变化构全等
张永玲
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。即一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的新图形一定与原图形全等。反过来，要得到两个全等的图形，可平移、旋转或翻折图形构造全等图形。
例 如图一，P为正方形ABCD的边BC上一点，F为BC延长线上一点，CE平分∠DCF，AP⊥PE，PE交CE于点E，求证：AP＝PE。
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简析：看到此题的第一感觉应该是通过全等三角形来证明两个线段相等，但题中本身没有全等三角形，如何构造全等三角形就是本题的难点所在。因为正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以可以考虑以AP或PE所在的三角形为基础，通过旋转变换或轴对称变换构造出与之全等的三角形来解决问题。
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【点拨1】如图二，因为旋转变换的旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，所以如果能找出旋转中心就好办了。因此分别作对应点A，P，对应点P，E连线的垂直平分线，交于点M，因为MA＝MP，MP＝ME，而旋转中心到对应点的距离相等，所以以点M为中心，将△PCE按顺时针方向旋转90°得到△AGP，其中点P旋转到点A，点C旋转到点G，点E旋转到点P。
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略证：如图三，在AB上截取BG＝BP。
易得∠AGP＝∠PCE，∠GAP＝∠EPC，AG＝PC, 则△AGP≌△PCE(AAS)。
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【点拨2】在图四中，因为PA＝PE，PG＝PC，而旋转中心到对应点的距离相等，所以以点P为旋转中心，将△PCE按逆时针方向旋转90°得到△PGA，其中点E旋转到点A，点C旋转到点G。
略证：如图四，连接AC,过点P作PG⊥BC交AC于点G，则PG＝PC，∠AGP＝∠ECP＝135°，∠GPA＝∠EPC，△AGP≌△ECP(AAS)，得到AP＝PE。
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【点拨3】在图五中，因为PA＝PE，PG＝PH，而旋转中心到对应点的距离相等，所以以点P为旋转中心，将△PGA按顺时针方向旋转90°得到△PHE，其中点A旋转到点E，点G旋转到点H。
略证：如图五，连接AC，过P作PG⊥AC于点G，PH⊥EC交EC的延长线于点H，由角平分线性质得PG＝PH，∠GAP＝∠E，∠AGP＝∠EHP，所以△AGP≌△EHP(AAS)，得AP＝PE。
提示：因为∠BAP＝∠CPE，又∠BAP＋∠GAP＝45°，∠E＋∠CPE＝45°，所以∠GAP＝∠E。
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【点拨4】如图六，因为PA＝PE，PC＝PG，而旋转中心到对应点的距离相等，所以以点P为旋转中心，将△PCA绕点P按顺时针方向旋转90°得到△PGE，其中点A旋转到点E，点C旋转到点G。
略证：如图六，连接AC，过点P作PG⊥BC交EC延长线于G，PG＝PC，∠EPG＝∠APC，∠PAC＝∠E，则△APC≌△EPG(AAS)，得到AP＝PE。
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【点拨5】如图七，因为∠FCE＝45°，将△PCE沿BF翻折后，CE在直线AC上，所以△PCE翻折到△PCG的位置，构造等腰三角形PAG，问题就解决了。
略证：如图七，延长AC使CG＝CE，易证△PCE≌△PCG(SAS)，所以PE＝PG，∠E＝∠G＝∠PAC，则△APG为等腰三角形，AP＝PG，所以AP＝PE．
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从点拨1到点拨4都运用了旋转变换的方法，因为正方形是中心对称图形，所以与之相关的旋转变换的中心往往在对角线或边上，如果图形中有几个点到某一个点的距离相等，这个点一般来说就是旋转中心，我们通常考虑运用旋转变换进行图形的变化。
点拨5运用了轴对称的方法，当直接证明线段或角相等比较困难时，可以用轴对称将线段或角转移到另一个位置后，再来证明。
因为旋转变换和轴对称变换都是全等变换，即只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，变换前后的图形全等，故在特殊四边形中证明图形全等，线段相等，角相等时常常利用旋转变换或轴对称变换来集中条件，构造全等，达到解题目的。
来源：全品文教中学教育 2022-05-09 17:37
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